A Notice on the Extension of Modules

Abstract

R을 left Artinian 'ring'이라하고, J(R)을 R의 Jacobson radical이라두자. 우리는 R-module A의 projective resolution을

.........P₂----P----P----A----0

로 놓고, 어떤 R-module C에 대하여 다음과 같은 sequence를 생각한다.

0-----Hom?(P?,C)-----Hom(P?,C)----Hom(P?C)---....

이때 the lst homology group Ker d₂/Im d₁을 Ext(A,C)로 나타내자. 그러면 본 논문에서는 다음과 같은 성질이 얻어진다. 만일 C가 R-module로서 J(R)C=0이면, C는 semi-simple임을 말 할 수 있는데, 여기서 J(R)C는 다음과 같은 모든 유한화의 집합을 나타낸다.

?

또 이 경우에 A가 하나의 R-module일때, 어떤 simple R-module S에 대하여 Ext(A,S)=0이면, J(R)C=0가 되는 여하한 R-module C에 대해서도, Ext(A,c)=0임을 밝힌다.

Let R be a left Artinian ring, and J(R) the Jacobson radical of R.The exact sequence

.........P₂----P----P----A----0

is a projective resolution of an R-module A.Consider the sequence

0-----Hom?(P?,C)-----Hom(P?,C)----Hom(P?C)---....

for an R-module C. Then the lst homology group Ker d₂/Im d₁is denoted by Ext(A,C). In this note, we chow the following characterization. If C is an R-module and J(R)C=0 then C is semi-simple, where J(R)C=?. And we also prove, in this case, that Ext(A,C)=0 proveided that Ext(A,S)=0 for some simple R-module S, when A is an R-module.

Let R be a left Artinian ring, and J(R) the Jacobson radical of R.The exact sequence

.........P₂----P----P----A----0

is a projective resolution of an R-module A.Consider the sequence

0-----Hom?(P?,C)-----Hom(P?,C)----Hom(P?C)---....

for an R-module C. Then the lst homology group Ker d₂/Im d₁is denoted by Ext(A,C). In this note, we chow the following characterization. If C is an R-module and J(R)C=0 then C is semi-simple, where J(R)C=?. And we also prove, in this case, that Ext(A,C)=0 proveided that Ext(A,S)=0 for some simple R-module S, when A is an R-module.