Characterization of Radical in a Left Artinian Ring

Abstract

본 논문에서는 R을 좌 Artin환, N을 Jacobson 라디칼 이라할때 좌 R-module C가 단순 R-submodule의 직화로 표시되기 위한 필요하고도 충분한 조건은 NC=0임을 보인다.

그리고 더욱 나아가서 R-module ?A에서 R-module ?B로 가는 모든 R-module 준동형의 집합은 하나의 R-module이 될 수 있는데 이것이 R/N-module A/NA에서 R/N-module C로 가는 모든 R/N-module 준동형의 집합과 동형임을 밝힌다.

It is shown that a left R-module C can be represented as a direct sum of simple R-submodules if and only if NC=0, where R is left Artinian, and N is the Jacobson radical of R. Furthermore, it is proved that if R is a left Artinian ring, N the radical of R, and NC=0, then Hom?(A,C)?Hom???(A/N A, C), where Hom? (A, C) is the set of all R-module homomorphisms of an R-module ?A to ?B.

It is shown that a left R-module C can be represented as a direct sum of simple R-submodules if and only if NC=0, where R is left Artinian, and N is the Jacobson radical of R. Furthermore, it is proved that if R is a left Artinian ring, N the radical of R, and NC=0, then Hom?(A,C)?Hom???(A/N A, C), where Hom? (A, C) is the set of all R-module homomorphisms of an R-module ?A to ?B.