2n+1차원 하이젠버그군에서 측지구의 부피

Abstract

좌불변 거리(Left invariant Metric)를 갖는 단순 연결 가환군(Simply Connected Abelian Lie Group) 에서 측지선(Geodesic)과 측지구(Geodesic Ball)의 부피에 관해서는 이미 잘 알려져 있다. 가환군 에 어떤 의미에서 가장 근접되어 있는 비가환(Non Abelian) 리군이 하이젠버그 군(Heisenberg Group)이다. 따라서 하이젠버그 군의 기하학적인 성질의 파악은 미분기하학에서 필요한 연구이며, 좌불변 거리를 갖는 하이젠버그 군의 측지구의 부피의 식 계산은 기하학적으로 중요한 의미를 갖는다. 3차원 하이젠버그 군과 5차원 하이젠버그 군에 대한 측지구의 부피에 대한 계산은 이미 연구되어 있으며, 본 연구에서는 2n+1차원 하이젠버그 군의 측지구의 부피를 계산하였다. 2장에서는 하이젠버그 군이 속해있는 2계 거듭제곱이 영인 군의 소개와 측지구의 부피를 계산하는데 필요한 야코비장에 대한 일반적인 내용을 언급하였다. 3장 1절에서는 본 논문의 주 정리의 증명에 필요한 결과들을 언급하였다. 2절에서는 2n+1차원 하이젠버그 군의 측지구의 부피의 식을 제시하고 이를 증명하였다. 그리고 3절에서는 2n+1차원 하이젠버그 군의 측지구의 부피의 식에서 특별한 경우로 n=2일 때 즉 5차원 하이젠버그 군의 측지구의 부피의 식이 기존 연구된 결과와 일치함을 확인하였다. |The geodesic and volume of a geodesic ball are well understood in simply connected abelian Lie groups having a left invariant metric, . A non-abelian Lie group which is most closely related to the abelian group is known as a Heisenberg Group. Thus, understanding the geometric properties of a Heisenberg Group is essential in studies of differential geometry, and the calculation of the volume of a geodesic ball in a Heisenberg group with a left invariant metric has geometric significance. Studies into calculating the volume of geodesic balls for 3D and 5D Heisenberg groups have been conducted, and have established the volume of a geodesic ball in the 2n + 1D Heisenberg group. Chapter 2 provides an introduction to a 2-step nilpotent Lie group, which belongs to the Heisenberg group, as well as a general description of the Jacobi field necessary to calculate the volume of a geodesic ball. Section 1 of Chapter 3 describes the results required to prove the main theorem of this study. Section 2 of Chapter 3 presents the proof of an equation for the volume of a geodesic ball in the 2n+1 D Heisenberg group. Section 3, as a special case of the equation for the volume of a geodesic ball in the 2n+1 D Heisenberg group where n =2, presents the equation of the volume of a geodesic ball of the 5D Heisenberg group, consistent with the results of previous studies.