Semi-Lagrangian 기법을 이용한 압력기반 비압축성 Navier-Stokes 해법

Abstract

본 연구에서는 라그랑주 기법(Lagrangian description)과 오일러 기법(Eulerian description)의 장점을 동시에 지니는 준 라그랑주 기법(semi-Lagrangian description)을 통하여 2차 정확도를 지닌 유동 해석 알고리즘을 개발하였다. 그리고 이를 바탕으로 알고리즘 검증을 위해 널리 사용되는 케이스들을 해석하여 그 타당성과 정확도를 검증하였다. 준 라그랑주 기법은 오일러 기법과 같이 그리드를 생성하여 유동을 해석하지만, 매 time step마다 속도 벡터를 바탕으로 현 time step에서 각 절점에 위치한 parcel의 이전 time step에서의 위치를 역산한다. 이를 통해 Navier-Stokes 방정식에서 convection항을 전미분(total derivative, material derivative)으로 처리하기 때문에, 비선형 미분항을 생략할 수 있다. 이 때문에, 준 라그랑주 기법은 무조건적으로 안정적인 것으로 수학적으로 증명된 기법이다. 즉, 극단적으로 time step을 크게 설정하는 등의 가혹한 계산 조건 하에서도 계산의 정확도가 낮아질지언정 발산하지 않는다. 이를 바탕으로 자유표면효과나 유체와 고체의 상호작용 등 거시적인(macroscopic) 문제를 해석하는 데에 본 알고리즘이 유용할 것으로 판단된다. Navier-Stokes 방정식을 풀기 위하여 널리 알려진 Chorin의 projection method를 사용하였으며, 직교 좌표계에서 유체 내부에 물체가 들어갔을 때 물체에 의한 효과를 표현하기 위해 레벨 셋 함수(level set function)와 헤비사이드 함수(heaviside function)을 도입하였다. 본 알고리즘을 검증하기 위해서 수학적 정해(exact solution)가 존재하는 Taylor-Green vortex와 알고리즘 검증을 위해 널리 사용되고 있는 lid-driven cavity problem을 본 알고리즘으로 해석함으로써 솔버의 정확도를 검증하였다.